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  • 在平面直角坐标系xoy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0，1)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．（1）直接写出点C的坐标为 ；（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为 ．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在平面直角坐标系xoy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0，1)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．

      （1）直接写出点C的坐标为       ；
      （2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；
      （3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为      　 ．

      试题解答

      见解析
      （1）先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y轴上符合条件的有两点C1和C2，求出即可；
      （2）根据AP=AO=1，得出P的对称点是O点，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
      （3）作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．
      试题解析: （1）符合条件的有两点，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C      1、C2点，

      ∵A（0，1），
      ∴OA=1，
      ∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
      ∴AB=2OA=2，OB=      ，
      即AC      1=AC2=2，
      ∴OC      1=1+2=3，OC2=2-1=2，
      ∴C的坐标是（0，3）或（0，-1），
      （2）P的坐标是（      ，），
      理由是：过P作PQ⊥x轴于Q，
      ∵OA=1，AP=1，AO⊥x轴，
      ∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，
      ∵AP=1，
      ∴P在圆上，
      ∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，
      ∴P′点和O重合，如图：

      ∵P和P′关于直线AB对称，
      ∴PP′⊥AB，PC=P′C，
      由三角形面积公式得：S      △AOB=AO×OB=AB×CO，
      ∴      ×1=2OC，
      ∴OC=      ，
      ∴PP′=2OC=      ，
      ∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
      ∴∠POB=60°，
      ∴PQ=OP×sin60°=      ，OQ=OP×cos60°=，
      即P的坐标是（      ，）；
      （3）作B关于y轴的对称点B′，连接PB′交y轴于M，则M为所求，

      ∵OB=      ，
      ∴OB′=      ，
      即BB′=2      ，
      ∵PQ=      ，
      ∴由勾股定理得：PB′=      ，
      ∴PM+BM=PM+B′M=PB′=      ．
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