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我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图117图2212图3317图44 ………猜想：在图（n）中，特征点的个数为（用n表示）；（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1=试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…

（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称基本图的个数特征点的个数图117图2212图3317图44 ………猜想：在图（n）中，特征点的个数为　（用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O₁的坐标为（x₁，2），则x₁=　

试题解答

见解析

（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个，进一步猜想出：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n-1）=5n+2；
（2）过点O₁作O₁M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO₁M=30°，再由余弦函数的定义求出O₁M=

，即x₁=

；然后结合图形分别得出图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心的横坐标．

（1）由题意，可知图1中特征点有7个；
图2中特征点有12个，12=7+5×1；
图3中特征点有17个，17=7+5×2；
所以图4中特征点有7+5×3=22个；
由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n-1）=5n+2；

（2）如图，过点O₁作O₁M⊥y轴于点M，
又∵正六边形的中心角

=60°，O₁C=O₁B=O₁A=2，
∴∠BO₁M=30°，
∴O₁M=O₁B?cos∠BO₁M=2×

=

，
∴x₁=

；
由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为

（2

×2）=2

，
图（3）的对称中心的横坐标为

（2

×3）=3

，
图（4）的对称中心的横坐标为

（2

×4）=4

，
…
∴图（2013）的对称中心的横坐标为

（2

×2013）=2013

．
故答案为22，5n+2；

，2013

．

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