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在平面直角坐标系xoy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意-点M(x,y)满足:.(l)求曲线C的方程;(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN.试探究kPM?kPN的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点M (0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
在平面直角坐标系xoy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意-点M(x,y)满足:
.
(l)求曲线C的方程;
(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k
PM
,k
PN
.试探究k
PM
?k
PN
的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点M (0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,
取得最小值,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
(1)由题意,可得
∵A(-1,1),B(1,1),M(x,y)
∴
,
由此可得,
,
又∵
,且
,
∴
,
化简整理得:
,即为所求曲线C的方程.
(2)因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N???于坐标原点对称,
所以可设P(x,y),M(x
,y
),N(-x
,-y
).
∴P,M,N在椭圆上,
∴
,…①.
,…②
①-②,得
.
又∵
,
,
∴
,
因此,k
PM
?k
PN
的值恒等于-
,与点P的位置和直线L的位置无关.
(3)由于P(x,y)在椭圆C:
上运动,可得x
2
=3-
y
2
且-2≤y≤2
∵
=(x,y-m),
∴|
|=
=
=
由题意,点P的坐标为(0,2)时,
取得最小值,
即当y=2时,
取得最小值,而-2≤y≤2,故有4m≥2,解之得
.
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为(0,2)、(0,-2),而点M在线段DE上,即-2≤m≤2,
∴
,实数m的取值范围是
.
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