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如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

试题解答

见解析

（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH=

EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH=

OP
∴GH=

（

OP）=

（

×6）=2；

（2）延长PG交OA于C，则y=

×PC．
我们令OC=a=CH，

在Rt△PHC中，PC=

=

，
则y=

×

；
在Rt△PHO中，有OP²=x²+（2a）²=6²=36，
则a²=9-

，
将其代入y=

×

得y=

×

=

（0＜x＜6）；

（3）如果PG=GH，则y=GH=2，
解方程：x=0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH=GH=2则可以解得：x=2；
如果，PH=PG，则x=y代入可以求得：x=

，
综合上述线段PH的长是

或2．

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