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如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知

，这时我们把关于x的形如

的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”

必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”

的一个根，且四边形ACDE的周长是6

，求△ABC面积．

见解析

当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x²+5

x+4=0；

（2）证明：根据题意，得
△=（

c）²-4ab=2c²-4ab
∵a²+b²=c²
∴2c²-4ab=2（a²+b²）-4ab=2（a-b）²≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程

必有实数根；

（3）【解析】
当x=-1时，有a-

c+b=0，即a+b=

c
∵2a+2b+

c=6

，即2（a+b）+

c=6

∴3

c=6

∴c=2
∴a²+b²=c²=4，a+b=2

∵（a+b）²=a²+b²+2ab
∴ab=2
∴S_△ABC=

ab=1．

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