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根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.(1)观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且12(9-1)=4,12(9+1)=5和12(25-1)=12,12(25+1)=13发现规律:勾为n(n≥3,且n为奇数)时有:股=12(n2-1),弦=12(n2+1)分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式?(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾,股,弦,合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明?(3)继续观察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述的探索的方法,直接用m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且
1
2
(9-1)=4,
1
2
(9+1)=5和
1
2
(25-1)=12,
1
2
(25+1)=13
发现规律:勾为n(n≥3,且n为奇数)时有:股=
1
2
(n
2
-1),弦=
1
2
(n
2
+1)分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式?
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾,股,弦,合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明?
(3)继续观察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述的探索的方法,直接用m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.
试题解答
见解析
解:(1)7,24???25的股的算式是:
1
2
(49-1)=
1
2
(7
2
-1),(2分)
弦的算式是:
1
2
(49+1)=
1
2
(7
2
+1);(1分)
(2)当n为奇数,且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别是:n,
1
2
(n
2
-1),
1
2
(n
2
+1),(2分)
猜想关系式1:弦-股=1;关系式2:勾
2
+股
2
=弦
2
,
例如关系式1证明:
弦-股=
1
2
(n
2
+1)-
1
2
(n
2
-1)=1,(2分)
或关系式2证明:
勾
2
+股
2
=
n
2
+[
1
2
(n
2
-1)]
2
=
1
4
n
4
+
1
2
n
2
+
1
4
=
1
4
(n
2
+1)
2
=弦
2
,
∴猜想成立;
(3)当m为偶数,且m≥4时,
股、弦的代数式分别是:(
m
2
)
2
-1,(
m
2
)
2
+1.(2分)
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