• 根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.(1)观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且12(9-1)=4,12(9+1)=5和12(25-1)=12,12(25+1)=13发现规律:勾为n(n≥3,且n为奇数)时有:股=12(n2-1),弦=12(n2+1)分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式?(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾,股,弦,合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明?(3)继续观察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述的探索的方法,直接用m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.试题及答案-解答题-云返教育

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      根据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.
      (1)观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;…发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且
      1
      2
      (9-1)=4,
      1
      2
      (9+1)=5和
      1
      2
      (25-1)=12,
      1
      2
      (25+1)=13
      发现规律:勾为n(n≥3,且n为奇数)时有:股=
      1
      2
      (n2-1),弦=
      1
      2
      (n2+1)分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式?
      (2)根据(1)的规律,用n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾,股,弦,合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明?
      (3)继续观察①4,3,5;②6,8,10;②8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述的探索的方法,直接用m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.

      试题解答


      见解析
      解:(1)7,24???25的股的算式是:
      1
      2
      (49-1)=
      1
      2
      (72-1),(2分)
      弦的算式是:
      1
      2
      (49+1)=
      1
      2
      (72+1);(1分)

      (2)当n为奇数,且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别是:n,
      1
      2
      (n2-1),
      1
      2
      (n2+1),(2分)
      猜想关系式1:弦-股=1;关系式2:勾
      2+股2=弦2
      例如关系式1证明:
      弦-股=
      1
      2
      (n2+1)-
      1
      2
      (n2-1)=1,(2分)
      或关系式2证明:
      2+股2=n2+[
      1
      2
      (n2-1)]2=
      1
      4
      n4+
      1
      2
      n2+
      1
      4
      =
      1
      4
      (n2+1)2=弦2
      ∴猜想成立;

      (3)当m为偶数,且m≥4时,
      股、弦的代数式分别是:(
      m
      2
      )2-1,(
      m
      2
      )2+1.(2分)

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