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  • （2010?鸡西）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（ ）①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=√2DE．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?鸡西）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（　　）
      ①EF=FD；
      ②AD：AB=AE：AC；
      ③△DEF是等边三角形；
      ④BE+CD=BC；
      ⑤当∠ABC=45°时，BE=
      √2
      DE．

      试题解答

      C
      解：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
      ∵F是BC的中点，∴EF=DF=
      1
      2
      BC．故正确；
      ②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确；
      ③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
      ∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
      ∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确；
      ④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
      ∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
      ∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
      所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；
      ⑤当∠ABC=45°时，在Rt△BCE中，BC=
      √2
      BE，在Rt△ABD中，AB=2AD，
      由B、C、D、E四点共圆可知，△ADE∽△ABC，
      ∴
      DE
      BC
      =
      AD
      AB
      =
      1
      2
      ，即
      DE
      √2
      BE
      =
      1
      2
      ，∴BE=
      √2
      DE，故正确；
      故此题选C．
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