如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正确的结论是（）试题及答案-单选题-云返教育

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如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正确的结论是（　　）

试题解答

解：①正确；连接PC，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∠ABP=∠CBP=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠FCE=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
在△ABP和△CBP中，AB＝CB?∠ABP＝∠CBP?BP＝BP?，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF；
②④正确；延长AP交EF于N，如图2所示：

∵AB∥PE，
∴∠EPN=∠BAP，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴P、E、C、F四点共圆，
∴∠PFE=∠BCP，
∴∠BAP=∠BCP=∠PFE，
∵∠PEF+∠PFE=90°，
∴∠PEF+∠EPN=90°，
∴∠PNE=90°，
∴AP⊥EF；
③错误；
∵P是动点，
∴△APD不一定是等腰三角形；
正确的结论是①②④，
故选：C．

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八年级下册八年级下华师大版浙教版单选题初学数学

如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正确的结论是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

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