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  • 如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是         

      试题解答

      D
      如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
      ∵∠AMN=∠ABC=90°，
      ∴A，B，N，M四点共圆，
      ∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
      ∴∠ANM=∠NAM=45°，
      ∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．
      由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
      ∴Rt△AHM≌Rt△MPN
      ∴MP=AH=      AC=BD，故②正确，
      ∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
      ∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ
      则BN=NU，DQ=UQ，
      ∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．
      如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，
      ∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
      ∴△AMS≌△NMW，
      ∴AS=NW，
      ∴AB+BN=SB+BW=2BW，
      ∵BW：BM=1：      ，
      ∴      ==，故④正确．
      故选D．
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