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  • （2009?遂宁）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF?AC，cos∠ABD=35，AD=12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?遂宁）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF?AC，cos∠ABD=
      3
      5
      ，AD=12．
      （1）求证：△ANM≌△ENM；
      （2）求证：FB是⊙O的切线；
      （3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵BC是⊙O的直径，
      ∴∠BAC=90°．
      又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
      ∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．
      又∵MN=MN，
      ∴△ANM≌△ENM．

      （2）证明：∵AB      2=AF?AC，
      ∴
      AB
      AC
      =
      AF
      AB
      ．
      又∵∠BAC=∠FAB=90°，
      ∴△ABF∽△ACB．
      ∴∠ABF=∠C．
      又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，
      ∴FB是⊙O的切线．

      （3）解：由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，
      又∵AN∥ME，
      ∴∠ANM=∠EMN，
      ∴∠AMN=∠ANM，
      ∴AN=AM，
      ∴AM=ME=EN=AN．
      ∴四边形AMEN是菱形．
      ∵cos∠ABD=
      3
      5
      ，∠ADB=90°，
      ∴
      BD
      AB
      =
      3
      5
      ．
      设BD=3x，则AB=5x，
      由勾股定理AD=
      √(5x)2-(3x)2
      =4x；
      ∵AD=12，
      ∴x=3，
      ∴BD=9，AB=15．
      ∵MB平分∠AME，
      ∴BE=AB=15，
      ∴DE=BE-BD=6．
      ∵ND∥ME，
      ∴∠BND=∠BME．
      又∵∠NBD=∠MBE，
      ∴△BND∽△BME．
      ∴
      ND
      ME
      =
      BD
      BE
      ．
      设ME=x，则ND=12-x，
      12-x
      x
      =
      9
      15
      ，解得x=
      15
      2
      ．
      ∴S=ME?DE=
      15
      2
      ×6=45．
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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