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  • 如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧⌒OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2=PE?PF；（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧⌒OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
      （1）求证：PD      2=PE?PF；
      （2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S      △DEF．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连接PB，OP，
      ∵PE⊥AB，PD⊥OB，
      ∴∠BEP=∠PDO=90°，
      ∵AB切⊙O      1于B，∠ABP=∠BOP，
      ∴△PBE∽△POD，
      ∴
      PB
      OP
      =
      PE
      PD
      ，
      同理，△OPF∽△BPD
      ∴
      PB
      OP
      =
      PD
      PF
      ，
      ∴
      PE
      PD
      =
      PD
      PF
      ，
      ∴PD      2=PE?PF；

      （2）解：连接O      1B，O1P，
      ∵AB切⊙O      1于B，∠POB=30°，
      ∴∠ABP=30°，
      ∴∠O      1BP=90°-30°=60°，
      ∵O      1B=O1P，
      ∴△O      1BP为等边三角形，
      ∴O      1B=BP，
      ∵P为弧BO的中点，
      ∴BP=OP，
      即△O      1PO为等边三角形，
      ∴O      1P=OP=a，
      ∴∠O      1OP=60°，
      又∵P为弧BO的中点，
      ∴O      1P⊥OB，
      在△O      1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，
      ∴O      1D=
      1
      2
      a，OD=
      √3
      2
      a，
      过D作DM⊥OO      1于M，∴DM=
      1
      2
      OD=
      √3
      4
      a，
      OM=
      √3
      DM=
      3
      4
      a，
      ∴D（-
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），
      ∵∠O      1OF=90°，∠O1OP=60°
      ∴∠POF=30°，
      ∵PE⊥OA，
      ∴PF=
      1
      2
      OP=
      1
      2
      a，OF=
      √3
      2
      a，
      ∴P（-
      √3
      2
      a，
      a
      2
      ），F（-
      √3
      2
      a，0），
      ∵AB切⊙O      1于B，∠POB=30°，
      ∴∠ABP=∠BOP=30°，
      ∵PE⊥AB，PB=a，
      ∴∠EPB=60°
      ∴PE=
      1
      2
      a，BE=
      √3
      2
      a，
      ∵P为弧BO的中点，
      ∴BP=PO，
      ∴∠PBO=∠BOP=30°，
      ∴∠BPO=120°，
      ∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
      即OPE三点共线，
      ∵OE=
      1
      2
      a+a=
      3
      2
      a，
      过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O      1于O，
      ∴∠EOA=30°，
      ∴EM=
      1
      2
      OE=
      3
      4
      a，OM=
      3
      √3
      4
      a，
      ∴E（-
      3
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），
      ∵E（-
      3
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），D（-
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），
      ∴DE=-
      √3
      4
      a-（-
      3
      √3
      4
      a）=
      √3
      2
      a，
      DE边上的高为：
      3
      4
      a，
      ∴S      △DEF=
      1
      2
      ×
      √3
      2
      a×
      3
      4
      a=
      3
      √3
      16
      a2．
      故答案为：D（-
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），E（-
      3
      √3
      4
      a，
      3
      4
      a），F（-
      √3
      2
      a，0），P（-
      √3
      2
      a，
      a
      2
      ）；S△DEF=
      3
      √3
      16
      a2．
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