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  • 已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
      均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．

      试题解答

      见解析
      ∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
      ∴正弦值只能取      ，，1，
      若sinA      1=，
      ∵sinA      2≥，sinA3≥，
      ∴方程①的判别式△      1=4（sin2A1-sinA2）≤4（-）＜0，
      方程①无实根，与已知矛盾，
      故sinA      1≠，
      同理sinA      2≠，sinA3≠，
      若sinA      1=，则sinA2≥，sinA3≥，
      ∴方程①的判别式△      1=4（sin2A1-sinA2）=4?（-）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
      ∴sinA      1≠，同理sinA2≠，sinA3≠，
      综上，sinA      1=1，A1=90°，
      这样，其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°?n-270°，这些角均不大于150°，
      ∴720°?n-270°≤（4n-1）?150°，
      故n≤1，又n为正整数，
      ∴n=1，即多边形为凸六边形，且A      4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°，
      ∵A      4，A5，A6≤150°，
      ∴A      4=A5=A6=150°．
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