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  • 如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接．通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压U=√33×102V．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为qm=4.0×106C/kg，速度为vo=2.0×104m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）．（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小．（2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为α，试写出粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接．通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压U=
      √3
      3
      ×102V．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为
      q
      m
      =4.0×106C/kg，速度为vo=2.0×104m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）．
      （1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小．
      （2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为α，试写出粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压U′=
      1
      2
      U，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为vy：
      q
      U′
      d
      =ma ①
      v      y=at ②
      L=v      0t ③
      粒子射入磁场时速度的大小设为v=
      √v
      2
      0
      +v
      2
      y
      ④
      联立解得：v=
      √
      13
      3
      ×104m/s≈2.1×104m/s ⑤
      （2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v      0，有
      qv      0B=
      mv
      2
      0
      R0
      ⑥
      解得：R      0=
      mv0
      qB
      =0.2m
      设粒子射出极板时速度的大小为v，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为R．根据速度平行四边形可得：
      v=
      v0
      cosα
      ⑦
      又qvB=
      mv2
      R
      ，得R=
      mv
      qB
      ⑧
      由⑥⑦⑧可得：R=
      R0
      cosα
      ⑨
      粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为O′，与x轴交点为D，
      设∠O′DO=β，根据几何关系：
      d
      2
      +
      L
      2
      tanα=Rcosα+Rsinβ ⑩
      又：
      d
      2
      =
      L
      2
      =R0
      解得：sinα=sinβ，得 β=α
      粒子在磁场中运动的周期为T：T=
      2πm
      qB

      粒子在磁场中轨迹对应的圆心角为 θ=
      π
      2
      +2α
      则粒子在磁场中运动的时间：t=
      θ
      2π
      T=
      π
      2
      +2α
      2π
      T，得t=
      m(π+4α)
      2qB

      由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角α越大，则粒子在磁场中运动的时间就越大．假设极板间电压为最大值U=
      √3
      3
      ×102V
      时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长．
      由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：      vym=
      2
      √3
      3
      ×104m/s
      y方向偏距：y      m=
      vym
      2
      ?
      L
      v0
      =
      √3
      15
      m＜0.2m，说明粒子可以射出极板．此时粒子速度偏转角最大，设为αm，则
      tana      m=
      vym
      v0
      =
      √3
      3
      ，得αm=
      π
      6

      故粒子在磁场中运动的最长时间：      tm=
      m(π+4αm)
      2qB
      ，得tm=
      5πm
      6qB

      代入数值得：      tm=
      π
      12
      ×10-4s≈2.6×10-5s．
      答：
      （1）当滑动头P在ab正中间时，粒子射入磁场时速度的大小是2.1×10      4m/s．
      （2）粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系是
      m(π+4α)
      2qB
      ，粒子在磁场中运动的最长时间是2.6×10-5s．
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      选修3-1鲁科版解答题高中物理

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