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  • 集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=√x-2及f2（x）=4-6?（12）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
      （1）试判断f      1（x）=
      √x
      -2及f2（x）=4-6?（
      1
      2
      ）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；
      （2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵当x=49时f1（49）=5?[-2，4）
      ∴f      1（x）不在集合A中 （3分）
      又∵f      2（x）的值域[-2，4），
      ∴f      2（x）∈[-2，4）
      当x≥0时f      2（x）为增函数，
      因为y=?（
      1
      2
      ）x是减函数，所以f2（x）=4-6?（
      1
      2
      ）x（x≥0）是增函数，
      ∴f      2（x）在集合A中 （3分）
      （2）∵f      2（x）+f2（x+2）-2f2（x+1）
      =4-6(
      1
      2
      )x+4-6(
      1
      2
      )x+2-2[4-6(
      1
      2
      )x+1]
      =6[2      (
      1
      2
      )x+1-(
      1
      2
      )x-(
      1
      2
      )x+2]=-6(
      1
      2
      )x+2＜0(x≥0)
      ∴f      2（x）对任意x≥0，不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）总成立 （6分）
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