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  • 已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…an=a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{-1+√52，-1-√52}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若ai∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…an=a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
      ①集合{
      -1+
      √5
      2
      ，
      -1-
      √5
      2
      }是“复活集”；
      ②若a      1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
      ③若a      1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；
      ④若a      i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．
      其中正确的结论是                ．（填上你认为所有正确的结论序号）

      试题解答

      ①③④
      解：∵
      -1+
      √5
      2
      ?
      -1-
      √5
      2
      =
      -1+
      √5
      2
      +
      -1-
      √5
      2
      =-1，故①是正确的；
      ②不妨设a      1+a2=a1a2=t，
      则由韦达定理知a      1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，
      由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
      ③不妨设A中a      1＜a2＜a3＜…＜an，
      由a      1a2…an=a1+a2+…+an＜nan，得a1a2…an-1＜n，当n=2时，
      即有a      1＜2，
      ∴a      1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．
      当n=3时，a      1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．
      当n≥4时，由a      1a2…an-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
      也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n      2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，
      ∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
      故答案为：①③④
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      必修1人教A版填空题高中数学

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