对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．（1）求证：A?B（2）若f（x）=ax2-1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．
（1）求证：A?B
（2）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

（I）分A=?和A≠?的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（II）理解A=B时，它表示方程ax²-1=x与方程a（ax²-1）²-1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．
证明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A?B
（2）∵f（x）=ax²-1
∴f[f（x）]=a（ax²-1）²-1
若f[f（x）]=x，则a（ax²-1）²-1-x=0a（ax²-1）²-1-x=a（ax²-1）²-ax²+ax²-x-1=a[（ax²-1）²-x²]+ax²-x-1=a（ax²-x-1）（ax²+x-1）+ax²-x-1=（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）
∴B={x|（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0}A={x|ax²-x-1=0}
当a=0时，A={-1}，B={-1}，A=B≠?
∴a=0符合题意
当a≠0时，当A=B≠?时，方程ax²-x-1=0有实根；对方程a²x²+ax-a+1=0根的情况进行分类讨论：
①若方程a²x²+ax-a+1=0有两个???相等的实根，则