记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=at1+at2+…+atk．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=?，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T=a_t₁+a_t₂+…+a_{t_k}．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）设C?U，D?U，S_C≥S_D，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D．

试题解答

见解析

解：（1）当T={2，4}时，S_T=a₂+a₄=a₂+9a₂=30，
因此a₂=3，从而a₁=

a₂

=1，
故a_n=3^n-1，
（2）S_T≤a₁+a₂+…a_k=1+3+3²+…+3^k-1=

3^k-1

＜3^k=a_k+1，
（3）设A=?_C（C∩D），B=?_D（C∩D），则A∩B=?，
分析可得S_C=S_A+S_C∩D，S_D=S_B+S_C∩D，则S_C+S_C∩D-2S_D=S_A-2S_B，
因此原命题的等价于证明S_C≥2S_B，
由条件S_C≥S_D，可得S_A≥S_B，
①、若B=?，则S_B=0，故S_A≥2S_B，
②、若B≠?，由S_A≥S_B可得A≠?，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，
若m≥l+1，则其与S_A＜a_i+1≤a_m≤S_B相矛盾，
因为A∩B=?，所以l≠m，则l≥m+1，
S_B≤a₁+a₂+…a_m=1+3+3²+…+3^m-1=

3^m-1

≤

a_m+1

S_A

，即S_A≥2S_B，
综上所述，S_A≥2S_B，
故S_C+S_C∩D≥2S_D．

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必修1 人教A版解答题高中数学

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