对于集合M，定义函数fM(x)={-1，x∈M1，x?M.对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|fM（x）?fN（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出fA（1）和fB（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？试题及答案-解答题-云返教育

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对于集合M，定义函数f_M(x)=

{	-1，x∈M 1，x?M.

对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）?f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）结合所给定义知，f_A（1）=1，f_B（1）=-1，A△B={1，6，10，16}．
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C，X，
①若a∈C且a?X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）-1；
②若a?C且a?X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）+1．
所以要使Card（X△A）+Card（X△B）的值最小，2，4，8一定属于集合X；
1，6，10，16是否属于X不影响Card（X△A）+Card（X△B）的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．
所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．
所以Card（X△A）+Card（X△B）的最小值
（Ⅲ）因为 A△B={x|f_A（x）?f_B（x）=-1}，
所以 A△B=B△A．
由定义可知：f_A△B（x）=f_A（x）?f_B（x）．
所以对任意元素x，f_{（A△B）△C}（x）=f_A△B（x）?f_C（x）=f_A（x）?f_B（x）?f_C（x），
f_{A△（B△C）}（x）=f_A（x）?f_B△C（x）=f_A（x）?f_B（x）?f_C（x）．
所以 f_{（A△B）△C}（x）=f_{A△（B△C）}（x）．
所以（A△B）△C=A△（B△C）．
由（P△A）△（Q△B）=A△B知：（P△Q）△（A△B）=A△B．
所以（P△Q）△（A△B）△（A△B）=（A△B）△（A△B）．
所以 P△Q△?=?．
所以 P△Q=?，即P=Q．
因为 P，Q?A∪B，
所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为2⁷=128．

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必修1 人教A版解答题高中数学

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