非空集合M关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得对一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，则称M关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：①M={非负整数}，⊕为整数的加法；②M={偶数}，⊕为整数的乘法；③M={二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M={平面向量}，⊕为平面向量的加法；其中M关于运算⊕为“理想集”的是．（只需填出相应的序号）试题及答案-解答题-云返教育

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非空集合M关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得对一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，则称M关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：
①M={非负整数}，⊕为整数的加法；②M={偶数}，⊕为整数的乘法；
③M={二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M={平面向量}，⊕为平面向量的加法；
其中M关于运算⊕为“理想集”的是．（只需填出相应的序号）

试题解答

见解析

逐一检验给出的集合与运算是否满足“理想集”的定义中的两个条件，把满足“理想集”的定义的找出来．

对于①M={非负整数}，⊕为整数的加法，由于任意两个整数的和仍是整数，M中存在0，满足
a+0=0+a=a，故满足“理想集”的定义．
对于②M={偶数}，⊕为整数的乘法???由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），但不存在偶数e，使得
一个偶数与e的积仍是此偶数，故不满足条件（2），故不满足“理想集”的定义．
对于③M={二次三项式}，⊕为多项式的加法，由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如 ax²+bx+c
与-ax²-bx+c 的和为2c，不满足条件（1），故不满足“理想集”的定义．
对于④M={平面向量}，⊕为平面向量的加法，由于任意两个平面向量的和仍是平面向量，M 中存在

，
使得

成立，故满足“理想集”的定义．
故答案为：①④．

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