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设函数f（x）=a-2(12)x+b是R上的奇函数，且f（-1）=13．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）试判断f（x）在R上的单调性，并予以证明．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=a-

2

(

1

2

)^x+b

是R上的奇函数，且f（-1）=

1

3

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）试判断f（x）在R上的单调性，并予以证明．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f???x）=a-

2

(

1

2

)^x+b

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=

1

3

，a-

2

b+2

=0，a-

2

b+2

=

1

3

，解得：a=1，b=1
即：f(x)=1-

2

(

1

2

)^x+1

，
（2）y=1-

2

1

2^x

+1

，解得：

1

2^x

=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故值域为：（-1，1），
（3）f（x）在R上单调递减，
证明：设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1

2^x₁

-

1

2^x₂

(1+

1

2^x₁

)(1+

1

2^x₂

)

，
∵x₁＜x₂∴

1

2^x₁

+1＞0，

1

2^x₂

+1＞0，

1

2^x₁

-

1

2^x₂

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
f（x）在R上单调递减，

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必修1 人教B版解答题高中数学

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