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  • 已知函数f(x)=bx+1(ax+1)2(x≠-1a，a＞0)，且f（1）=log162，f（-2）=1．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列xn的项满足xn=[1-f（1）]?[1-f（2）]?…?[1-f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；（3）猜想数列xn的通项，并用数学归纳法证明．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      bx+1
      (ax+1)2
      (x≠-
      1
      a
      ，a＞0)，且f（1）=log162，f（-2）=1．
      （1）求函数f（x）的表达式；
      （2）若数列x      n的项满足xn=[1-f（1）]?[1-f（2）]?…?[1-f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；
      （3）猜想数列x      n的通项，并用数学归纳法证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=
      bx+1
      (ax+1)2
      (x≠-
      1
      a
      ，a＞0)，且f（1）=log162，f（-2）=1．
      ∴
      b+1
      (a+1)2
      =log162=
      1
      4
      ，
      -2b+1
      (-2a+1)2
      =1
      解得：
      {
      a=1
      b=0

      ∴函数f(x)=
      1
      (x+1)2

      （2）由（1）中f(x)=
      1
      (x+1)2

      ∴x      n=[1-f（1）]?[1-f（2）]?…?[1-f（n）]，
      当n=1时，      x1=
      3
      4
      ．
      当n=2时，      x2=
      4
      6
      ，
      当n=3时，      x3=
      5
      8
      ，
      当n=4时，      x4=
      6
      10

      （3）由（2）中结论我们易得：      xn=
      n+2
      2(n+1)
      ．
      当n=1时，结论显然成立
      设n=k时，结论成立，即      xk=
      k+2
      2(k+1)

      则当n=k+1时，      xk+1=xk?[1-
      1
      (k+2)2
      ]=
      k+2
      2(k+1)
      ?[1-
      1
      (k+2)2
      ]=
      (k+2)+1
      2[(k+1)+1]

      即n=k+1时，结论也成立．
      故      xn=
      n+2
      2(n+1)
      ．
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      必修1人教B版解答题高中数学

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