• 定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当-1≤x<0时,f(x)=-2x4x+1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;(Ⅱ)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;(Ⅲ)当x∈(0,1]时,关于x的方程2xf(x)-2x+λ=0有解,试求实数λ的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

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      定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当-1≤x<0时,f(x)=-
      2x
      4x+1

      (Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;
      (Ⅱ)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;
      (Ⅲ)当x∈(0,1]时,关于x的方程
      2x
      f(x)
      -2x+λ=0有解,试求实数λ的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(Ⅰ)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
      ∴当x=0时,f(x)=0,…(1分)
      当 x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),
      所以f(x)=-f(-x)=
      2x
      1+4x
      ,…(4分)
      综上:f(x)=
      {
      2x
      1+4x
      ,x∈(0,1]
      0, x=0
      -
      2x
      1+4x
      ,x∈[-1,0).
      .…(5分)
      (Ⅱ)证明:任意x
      1、x2(0,1],且x1<x2
      则f(x
      1)-f(x2)=
      (2x1-2x2)(1-2x1+x2)
      (1+4x1)(1+4x2)

      由x
      1<x2,故2x1<2x2,又1-2x1+x2<0,(1+4x1)(1+4x2),
      所以f(x
      1)>f(x2),
      所以f(x)在(0,1)上单调递减.…(9???)
      (Ⅲ)λ=2
      x-1-4x
      设t=2
      x,则t∈(1,2],
      故λ=-t
      2+t-1=-(t-
      1
      2
      )2-
      3
      4
      ∈[-3,-1).…(14分)
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