定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f(x)=-2x4x+1．（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，关于x的方程2xf(x)-2x+λ=0有解，试求实数λ的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f(x)=-

2^x

4^x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，关于x的方程

2^x

f(x)

-2^x+λ=0有解，试求实数λ的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0，…（1分）
当 x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2^x

1+4^x

，…（4分）
综上：f(x)=

{

2^x

1+4^x

，x∈(0，1]

0， x=0

2^x

1+4^x

，x∈[-1，0).

．…（5分）
（Ⅱ）证明：任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=

(2^x₁-2^x₂)(1-2^x₁+x₂)

(1+4^x₁)(1+4^x₂)

由x₁＜x₂，故2^x₁＜2^x₂，又1-2^x₁+x₂＜0，(1+4^x₁)(1+4^x₂)，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上单调递减．…（9???）
（Ⅲ）λ=2^x-1-4^x，
设t=2^x，则t∈（1，2]，
故λ=-t²+t-1=-(t-

)²-

∈[-3，-1)．…（14分）

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