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定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当-1≤x<0时,f(x)=-2x4x+1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;(Ⅱ)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;(Ⅲ)当x∈(0,1]时,关于x的方程2xf(x)-2x+λ=0有解,试求实数λ的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当-1≤x<0时,f(x)=-
2
x
4
x
+1
.
(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上解析式;
(Ⅱ)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;
(Ⅲ)当x∈(0,1]时,关于x的方程
2
x
f(x)
-2
x
+λ=0有解,试求实数λ的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
∴当x=0时,f(x)=0,…(1分)
当 x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),
所以f(x)=-f(-x)=
2
x
1+4
x
,…(4分)
综上:f(x)=
{
2
x
1+4
x
,x∈(0,1]
0, x=0
-
2
x
1+4
x
,x∈[-1,0).
.…(5分)
(Ⅱ)证明:任意x
1
、x
2
(0,1],且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
(2
x
1
-2
x
2
)(1-2
x
1
+x
2
)
(1+4
x
1
)(1+4
x
2
)
由x
1
<x
2
,故
2
x
1
<2
x
2
,又1-2
x
1
+x
2
<0,(1+4
x
1
)(1+4
x
2
),
所以f(x
1
)>f(x
2
),
所以f(x)在(0,1)上单调递减.…(9???)
(Ⅲ)λ=2
x
-1-4
x
,
设t=2
x
,则t∈(1,2],
故λ=-t
2
+t-1=-(t-
1
2
)
2
-
3
4
∈[-3,-1).…(14分)
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函数解析式的求解及常用方法
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函数零点的判定定理
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