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  • 设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②对于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．证明：（1）对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1（2）f(13n)≤23n+1（n∈N*）；（3）x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：
      ①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②对于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
      证明：（1）对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1
      （2）f(
      1
      3n
      )≤
      2
      3n
      +1（n∈N*）；
      （3）x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，
      则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
      则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1．…（2分）
      （2）设x      1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，则x2-x1∈[0，1]．
      ∵f（x      2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）≥f（x1）+f（x2-x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1≥0，
      ∴f（x）在[0，1]上是不减函数．…（4分）
      ∵f(
      1
      3n-1
      )=f(
      1
      3n
      +
      1
      3n
      +
      1
      3n
      )≥f(
      1
      3n
      +
      1
      3n
      )+f(
      1
      3n
      )-1≥3f(
      1
      3n
      )-2，
      ∴f(
      1
      3n
      )≤
      1
      3
      f(
      1
      3n-1
      )+
      2
      3
      ≤
      1
      32
      f(
      1
      3n-2
      )+
      2
      32
      +
      2
      3
      ≤…≤
      1
      3n
      f(
      1
      3n-n
      )+
      2
      3n
      +…+
      2
      3

      =
      1
      3n-1
      +1-
      1
      3n
      =
      2
      3n
      +1．…（8分）
      （3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得
      1
      3n
      ≤x≤
      1
      3n-1
      ．
      因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以f(
      1
      3n
      )≤f(x)≤f(
      1
      3n-1
      )，
      由（2）知f(
      1
      3n-1
      )≤
      2
      3n-1
      +1=6
      1
      3n
      +1≤6x+1．
      由①可得f（2）≥1，在②中，令x=y=2，得f（2）≤1，∴f（2）=1．
      而f（2）=f（0），∴f（0）=1，又f(
      1
      3n
      )≥f(0)，∴f(
      1
      3n
      )≥1，
      ∴x∈[0，1]时，1≤f（x）≤6x+1．．…（12分）
      ∵x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，且f（x）=f（2-x），
      ∴1≤f（2-x）≤6（2-x）+1=13-6x，
      因此，x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．…．（14分）
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