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  • 已知函数f(x)=1x2+|x2-a|（常数a∈R+）（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      x2
      +|x2-a|（常数a∈R+）
      （Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
      （Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
      ∵f(-x)=
      1
      (-x)2
      +|(-x)2-a|=
      1
      x2
      +|x2-a|=f(x)，
      ∴f（x）是偶函数．
      （2）f（x）=
      {
      1
      x2
      +x2-a(x≤-
      √a
      或x≥
      √a
      )
      1
      x2
      -x2+a(-
      √a
      ＜x＜
      √a
      )
      （a∈R+）
      1      0若x≤-
      √a
      或x≥
      √a
      ，则f（x）=
      1
      x2
      +x2-a，设
      √a
      ≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
      1
      x
      2
      1
      +x
      2
      1
      -
      1
      x
      2
      2
      -x
      2
      2
      =(x
      2
      2
      -x
      2
      1
      )(
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      -1)
      由
      √a
      ≤x1＜x2?x12x22≥a2?
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      ≤
      1
      a2
      且x22-x12＞0，
      当
      1
      a2
      ＜1?a 时，f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在[
      √a
      ，+∞)上是增函数；
      又f（x）是偶函数，f（x）在(-∞，-
      √a
      ]上是减函数．
      当
      1
      a2
      ≥1?0＜a≤1时，
      √a
      ≤x1＜x2≤1时，
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      ＞1?f(x1)＞f(x2)，1≤x1＜x2时，
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      ＜1?f(x1)＜f(x2)．
      ∴f（x）在[
      √a
      ，1]上是减函数，
      在[1，+∞）上是增函数；
      又f（x）是偶函数，在[-1，-
      √a
      ]上是增函数，
      在（-∞，-1]上是减函数．
      2      0若-
      √a
      ≤x≤
      √a
      (x≠0)，则f（x）=
      1
      x2
      -x2+a，
      设-
      √a
      ≤x1＜x2≤
      √a
      ，同理∴f（x）在(0，
      √a
      ]上是减函数，
      又f（x）是偶函数，于是f（x）在[-
      √a
      ，0)上是增函数．
      由1      020知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，
      在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
      当a＞1时，f（x）在(0，
      √a
      ]上是减函数，在[
      √a
      ，+∞)上是增函数，
      在(-∞，-
      √a
      ]上是减函数，在[-
      √a
      ，0)上是增函数．
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