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  • 已知函数f（x）=ax2+bx+c满足：①f（x）的一个零点为2；②f（x）的最大值为1；③对任意实数x都有f（x+1）=f（1-x）．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）设函数g(x)={x， x∈Af(x)， x∈B是定义域为（0，1）的单调增函数，且0＜x0＜x′＜1．当x0∈B时，证明：x′∈B．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+bx+c满足：
      ①f（x）的一个零点为2；②f（x）的最大值为1；③对任意实数x都有f（x+1）=f（1-x）．
      （Ⅰ）求a，b，c的值；
      （Ⅱ）设函数g(x)=
      {
      x， x∈A
      f(x)， x∈B
      是定义域为（0，1）的单调增函数，且0＜x0＜x′＜1．当x0∈B时，证明：x′∈B．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵f（x）的一个零点为2，
      ∴f（2）=0，即4a+2b+c=0，①，
      又对任意x都有f（x+1）=f（1-x），
      令x=-1，则f（0）=f（2）=0，
      ∴c=0，②
      ∵f（x）的最大值为1，
      ∴
      4ac-b2
      4a
      =1，即4a+b2-4ac=0，③
      由①②③得，解得a=-1，b=2，c=0；
      （II）证明：由（ I）知，f（x）=-x      2+2x，
      ∵x      0∈B，
      ∴g（x      0）=f（x0）=-x02+2x0=-(x0-1)2+1，
      ∵g（x）的定义域为（0，1），
      ∴0＜x      0＜1，
      ∴x      0＜g（x0）＜1，
      ∵g（x）是单调递增函数，
      ∴[x      0，-x
      2
      0
      +2x0]?B，
      记      x1=-x
      2
      0
      +2x0∈(0，1)，x2=-x
      2
      1
      +2x1，…，xn=-x
      2
      n-1
      +2xn-1，…
      ∴[x      0，x1]?B，
      同理[x      1，x2]?B，…，[xn-1，xn]?B，…
      ∵      xn=-x
      2
      n-1
      +2xn-1，
      ∴1-x      n=1+x
      2
      n-1
      -2xn-1=(1-xn-1)2，
      ∴1-x      n=(1-xn-1)2=(1-xn-2)22=…=(1-x0)2n，
      ∵x      0＜x'＜1，可取自然数nx′≥log2log(1-x0)(1-x′)，
      ∴x′≤x      nx′，即x∈[x0，xnx′]，
      ∵x∈[x      0，xnx′]?B，
      ∴x'∈B，
      ∴当x      0∈B时，x′∈B．
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