设函数f（x）=a-22x+1（1）求证：f（x）是增函数；（2）求a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=a-

2^x+1

（1）求证：f（x）是增函数；
（2）求a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

见解析

（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a-

2^x₁+1

-a+

2^x₂+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上递增，而x₁＜x₂∴2^x₁＜2^x₂∴2^x₁-2^x₂＜0（4分）
又（2^x₁+1）（2^x₂+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数（6分）

（2）解：f（x）为奇函数，f（0）=a-

2⁰+1

=a-1=0∴a=1
经检验，a=1时f（x）是奇函数（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-

2^x+1

∵2^x+1＞1∴0＜

2^x+1

＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）

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