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  • 已知函数f(x)=x21+x2（1）由f(2)=45，f(12)=15，f(3)=910，f(13)=110这几个函数值，你能发现f（x）与f(1x)有什么关系？并证明你的结论；（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(12)+f(13)+…+f(12010)的值；（3）判断函数f(x)=x21+x2在区间（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x2
      1+x2

      （1）由f(2)=
      4
      5
      ，f(
      1
      2
      )=
      1
      5
      ，f(3)=
      9
      10
      ，f(
      1
      3
      )=
      1
      10
      这几个函数值，你能发现f（x）与f(
      1
      x
      )有什么关系？并证明你的结论；
      （2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
      1
      2
      )+f(
      1
      3
      )+…+f(
      1
      2010
      )的值；
      （3）判断函数f(x)=
      x2
      1+x2
      在区间（0，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）+f（
      1
      x
      ）=（12分）
      f（x）+f（
      1
      x
      ）=
      x2
      1+x2
      +
      1
      x2
      1+
      1
      x2
      =1（5分）
      （2）      f(1)+f(2)+f(3)++f(2010)+f(
      1
      2
      )+f(
      1
      3
      )++f(
      1
      2010
      )=2009+
      1
      2
      =
      4019
      2
      （8分）
      （3）设0＜x      1＜x2
      f(x1)-f(x2)=
      x
      2
      1
      1+x
      2
      1
      -
      x
      2
      2
      1+x
      2
      2
      =
      x
      2
      1
      (1+x
      2
      2
      )-x
      2
      2
      (1+x
      2
      1
      )
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      =
      x
      2
      1
      -x
      2
      2
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      =
      (x1+x2)(x1-x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      （11分）
      由0＜x      1＜x2知x1-x2＜0（12分）
      所以有
      (x1+x2)(x1-x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ＜0即f（x1）-f（x2）＜0
      所以f（x      1）＜f（x2）
      函数f(x)=
      x2
      1+x2
      在区间（0，+∞）上为增函数（14分）
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