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  • 已知函数f(x)=ax+bx2+1．（1）当a=0，b=1???，求f（x）的值域；（2）当a＜0，b=0时，判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      ．
      （1）当a=0，b=1???，求f（x）的值域；
      （2）当a＜0，b=0时，判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵a=0，b=1时，
      f(x)=
      1
      x2+1
      ，
      ∵x      2+1≥1，
      ∴
      1
      x2+1
      ≤1，
      ∴f（x）的值域为（0，1]；
      （2）a＜0，b=0时，f(x)=
      ax
      x2+1
      在（1，+∞）上是增函数，
      证明：设1＜x      1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
      ax1
      x12+1
      -
      ax2
      x22+1

      =
      ax1(x22+1)-ax2(x12+1)
      (x12+1)(x22+1)
      =
      a(x1x22+x1-x12x2-x2)
      (x12+1)(x22+1)
      =
      a(x2-x1)(x1x2-1)
      (x12+1)(x22+1)
      ，
      ∵a＜0，x      2-x1＞0，x1x2-1＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
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