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函数f(x)=2x-12x+1(x∈R).(1)求函数f(x)的值域;(2)判断并证明函数f(x)的单调性;(3)证明f(-x)=-f(x);(4)对f(x),当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0 求m值的集合M.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
函数f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
(x∈R).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)证明f(-x)=-f(x);
(4)对f(x),当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m
2
)<0 求m值的集合M.
试题解答
见解析
解:(1)f(x)=1-
2
2
x
+1
,
因为2
x
>0,所以0<
2
2
x
+1
<2,-2<-
2
2
x
+1
<0,
所以-1<1-
2
2
x
+1
<1,即-1<f(x)<1,
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
(2)f(x)为增函数,下面证明:
设x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=(1-
2
2
x
1
+1
)-(1-
2
2
x
2
+1
)=
2(2
x
1
-2
x
2
)
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
,
因为x
1
<x
2
,所以
2
x
1
<2
x
2
,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
所以函数f(x)为增函数;
证明???(3)f(-x)=
2
-x
-1
2
-x
+1
=
1-2
x
1+2
x
=-
2
x
-1
2
x
+1
=-f(x),
所以原式成立;
(4)f(1-m)+f(1-m
2
)<0?f(1-m)<-f(1-m
2
),
由(3)知-f(1-m
2
)=f(m
2
-1),
所以f(1-m)<f(m
2
-1),
又由(2)知f(x)单调递增,
所以有
{
-1<1-m<1
-1<m
2
-1<1
1-m<m
2
-1
,解得1<m<
√
2
.
所以实数m的集合M={m|1<m<
√
2
}.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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