已知函数f（x）=x（ex+ae-x），（1）当a=-1时，判断并???明f（x）的奇偶性；（2）是否存在实数a，使得f（x）是奇函数？若存在，求出a；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x（e^x+ae^-x），
（1）当a=-1时，判断并???明f（x）的奇偶性；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是奇函数？若存在，求出a；若不存在，说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）由于x∈R，当a=-1时，f（x）=x（e^x-e^-x），再根据 f（-x）=（-x）（e^-x-e^x）=f（x），可得f（x）是偶函数．
（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，
∵f（-x）=（-x）（e^-x+ae^x），-f（x）=-x（e^x+ae^-x），
要使f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，即e^x+ae^-x=e^-x+ae^x恒成立，
故有（a-1）e^x=（a-1）e^-x，即（a-1）（e^2x-1）=0恒成立，
∴a-1=0，
∴a=1，即存在实数a，满足条件．

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已知函数f（x）=x（ex+ae-x），（1）当a=-1时，判断并???明f（x）的奇偶性；（2）是否存在实数a，使得f（x）是奇函数？若存在，求出a；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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