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  • 已知函数f(x)=exa+aex(a＞0，a∈R)是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ex
      a
      +
      a
      ex
      (a＞0，a∈R)是R上的偶函数．
      （1）求a的值；
      （2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即
      e-x
      a
      +
      a
      e-x
      =
      ex
      a
      +
      a
      ex
      ，…（2分）
      整理得(a-
      1
      a
      )(ex-
      1
      ex
      )=0，得a-
      1
      a
      =0，又a＞0，∴a=1．…（6分）
      （2）由（1）得f(x)=e      x+
      1
      ex
      ，设0≤x1＜x2，
      可得f（x      1）-f（x2）=ex1+
      1
      ex2
      -（ex2+
      1
      ex2
      ）=
      (ex1-ex2)(ex1+x2-1)
      ex1+x2
      ．
      由题设可得，      ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
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