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  • 已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．（1）求实数a，b的值；（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；（3）若g（x）=3-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数f（x）=
      x+b
      x2+a
      的定义域为R，f（1）=
      1
      2
      ．
      （1）求实数a，b的值；
      （2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
      （3）若g（x）=3      -x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于奇函数f（x）=
      x+b
      x2+a
      的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=
      1
      2
      ，可得实数a=1，b=0．
      （2）由（1）可得f（x）=
      x
      x2+1
      ，设-1＜x1＜x2＜1，则可得f（x2）-f（x1）=
      x2
      x22+1
      -
      x1
      x12+1
      =
      (x2-x1)(1-x1?x2)
      (x22+1)(x12+1)
      ．
      由题设可得 x      2-x1＞0，1-x1?x2＞0，∴
      (x2-x1)(1-x1?x2)
      (x22+1)(x12+1)
      ＞0，f（x2）-f（x1）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
      （3）由于函数g（x）=3      -x-f（x）=3-x-
      x
      x2+1
      ，g（-1）g（1）=（3+
      1
      2
      ）（
      1
      3
      -
      1
      2
      ）=-
      7
      12
      ＜0，
      可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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