设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）证明：函数f（x）在[-1，1]上是增函数；（2）如果函数g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c2）的定义域的交集是空集，求实数c的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明：函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）如果函数g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）的定义域的交集是空集，求实数c的取值范围．

见解析

解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，其中-x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

f(x₂)+f(-x₁)

x₂+(-x₁)

＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
又f（x）是[-1，1]上的奇函数，∴f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由题意，g（x）、h（x）的定义域可化为

{	-1≤x-c≤1 -1≤x-c²≤1

，化简得

{	-1+c≤x≤c+1 -1+c²≤x≤1+c²

；
由条件知c+1＜-1+c²或1+c²＜-1+c，即c²-c-2＞0或c²-c+2＜0；
解得c＜-1或c＞2；
所以c的取值范围是{c|c＜-1或c＞2}．

标签