已知函数f(x)=exa+aex(a＞0)是定义在R上的偶函数．（1）求a的值；（2）判断并用单调性定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）求不等式f（x2-x+2）-f（4x-2）＞0的解集．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

e^x

(a＞0)是定义在R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断并用单调性定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求不等式f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0的解集．

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见解析

解：（1）若函数f(x)=

e^x

(a＞0)是定义在R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即

e^-x

e^x

，
整理得e^-x-e^x=a²e^-x-a²e^x，
则

{	a²=1 -a²=-1

，
∴a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
（2）由（1）知a=1，则f（x）=e^x+e^-x在（0，+∞）上的是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=e^x₁+e^-x₁-(e^x₂+e^-x₂)=e^x₁-e^x₂+e^-x₁-e^-x₂=(e^x₁-e^x₂)+

e^x₂-e^x₁

e^x₁?e^x₂

=(e^x₁-e^x₂)?

e^x₁?e^x₂-1

e^x₁?e^x₂

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴e^x₁1，
∴e^x₁-e^x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）由f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0得f（x²-x+2）＞f（4x-2），
∵x²-x+2=（x-1）²+1＞0，函数f（x）是定义在R上的偶函数．
∴不等式f（x²-x+2）＞f（4x-2），
等价为f（x²-x+2）＞f（|4x-2|），
即x²-x+2＞|4x-2|，
∴当4x-2≥0时，即x≥

时，x²-x+2＞4x-2，即x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，此时x＞4．
当4x-2＜0时，即x＜

时，x²-x+2＞-（4x-2），即x²-3x＞0，解得x＞3或x＜0，此时x＜0．
综上不等式的解为x＞4或x＜0．
∴不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．

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已知函数f(x)=exa+aex(a＞0)是定义在R上的偶函数．（1）求a的值；（2）判断并用单调性定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）求不等式f（x2-x+2）-f（4x-2）＞0的解集．试题及答案-单选题-云返教育

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