定义在R上的函数f（x）满足对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）?f（y2）＞f（1）}，B={(x，y)|f(ax-y+√2)=1，a∈R}，若A∩B=?，试确定a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的函数f（x）满足对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）设A={（x，y）|f（x²）?f（y²）＞f（1）}，B={(x，y)|f(ax-y+

√2

)=1，a∈R}，若A∩B=?，试确定a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）定义在R上的函数f（x）满足对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），令 m=n=0 可得 f（0）=f（0）f（0），
故有 f（0）=1．
（2）由f（m+n）=f（m）?f（n）可得 f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（-x）=

f(x)

，故f（x）与f（-x）互为倒数，故函数f（x）＞0恒成立．
设 x₂＞x₁，则 x₂-x₁＞0，由题意可得 0＜f（x₂-x₁）＜1．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）?f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，
故函数 f（x）在R上是减函数．
（3）A={（x，y）|f（x²）f（y²）＞f（1）}={（x，y）|f（x²+y²）＞f（1）}={（x，y）|x²+y²＜1 }，表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（不包含边界）．
B={（x，y）|f（ax-y+

√2

）=f（0）}={（x，y）|ax-y+

√2

=0 }，表示一条过点（0，

√2

）的一条直线．
若A∩B=?，则圆和直线相切或相离，故有

|0-0+

√2

√a²+1

≥1，解得-1≤a≤1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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