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  • 函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（不需说明理由）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
      （2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（不需说明理由）

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x???，即
      ax+b
      x2+1
      =-
      -ax+b
      x2+1
      ，∴b=0． …（2分）
      ∵f（
      1
      2
      ）=
      2
      5
      ，∴a=1．
      ∴f（x）=
      x
      x2+1
      ． …（5分）
      （2）任取-1＜x      1＜x2＜1，f（x1）-f（x2）=
      x1
      x12+1
      -
      x2
      x22+1

      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (x12+1)(x22+1)
      ． …（7分）
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1?x2＞0，故
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (x12+1)(x22+1)
      ＜0，
      故有f（x      1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（-1，1）上是增函数． …（10分）
      （3）单调减区间（-∞，-1]，[1，+∞），…（12分）
      当x=-1时有最小值-
      1
      2
      ，当x=1时有最大值
      1
      2
      ． …（14分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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