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  • 已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．
      （Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
      （Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）解：∵a≤0，∴x2-a≥0，∴f（x）=x（x2-a）=x3-ax，
      ∴f      ′（x）=3x2-a，
      ∵f      ′（x）≥0对x∈R成立，
      ∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
      （Ⅱ）解：当a=3时，f（x）=x|x      2-3|=
      {
      3x-x3，当-
      √3
      ＜x＜
      √3
      x3-3x，当x≤-
      √3
      或x≥
      √3

      （i）当x＜-
      √3
      ，或x＞
      √3
      时，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）＞0．
      （ii）当-
      √3
      ＜x＜
      √3
      时，f′（x）=3-3x2=-3（x-1）（x+1）．
      当-1＜x＜1时，f      ′（x）＞0；
      当-
      √3
      ＜x＜-1，或1＜x＜
      √3
      时，f￠（x）＜0．
      所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-
      √3
      ]，[-1，1]，[
      √3
      ，+∞）；
      f（x）的单调递减区间是[-
      √3
      ，-1]，[1，
      √3
      ]．（8分）
      由区间的定义可知，b＞0．
      ①若0＜b≤1时，则[0，b]ì[-1，1]，因此函数f（x）在[0，b]上是增函数，
      ∴当x=b时，f（x）有最大值f（b）=3b-b      3．
      ②若1＜b≤
      √3
      时，f（x）=3x-x3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，并且该极大值就是函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．
      ∴当x=1时，f（x）有最大值2．
      ③若b＞
      √3
      时，当x∈[0，
      √3
      ]时，f（x）=3x-x3在[0，1]上单调递增，在[1，
      √3
      ]上单调递减，
      因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，在x∈[
      √3
      ，b]时，f（x）=x3-3x在[
      √3
      ，b]上单调递增，
      在x=b时，f（x）有最大值f（b）=b      3-3b．
      （i）当f（1）≥f（b），即2≥b      3-3b，b3-b-2b-2≤0，b（b2-1）-2（b+1）≤0，（b+1）2（b-2）≤0，b≤2．
      ∴当
      √3
      ＜b≤2时，在x=1时，f（x）取到最大值f（1）=2．
      （ii）当f（1）＜f（b），解得b＞2，
      ∴当b＞2时，f（x）在x=b时，取到最大值f（b）=b      3-3b，
      综上所述，函数y=f（x）在区间[0，b]上的最大值为y      max=
      {
      3b-b3，0＜b≤1
      2，1＜b≤2，b3-3b，b＞2
      ．
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