已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy），试证明：（1）f（x）为奇函数；（2）f（x）在（-1，1）上单调递减．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），试证明：
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）上单调递减．

试题解答

见解析

解：（1）由题意，令x=y=0代入已知式子可得：
f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
故f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x₂-x₁

1-x₂x₁

）
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴0＜x₂-x₁＜2，0＜1-x₂x₁＜2，
∴0＜

x₂-x₁

1-x₂x₁

＜1，故f（

x₂-x₁

1-x₂x₁

）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（-1，1）上单调递减．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy），试证明：（1）f（x）为奇函数；（2）f（x）在（-1，1）上单调递减．试题及答案-单选题-云返教育

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