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  • 已知函数f(x)=1-1x2．（Ⅰ）证明函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=1-
      1
      x2
      ．
      （Ⅰ）证明函数f（x）为偶函数；
      （Ⅱ）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

      试题解答

      见解析
      证明：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为D={x∈R|x≠0}．
      设x∈D，则-x∈D，f(-x)=1-
      1
      (-x)2
      =1-
      1
      x2
      =f(x)．
      所以函数f（x）为偶函数．
      （Ⅱ）设x      1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，
      则△x=x      2-x1＞0，△y=f(x2)-f(x1)=1-
      1
      x
      2
      2
      -(1-
      1
      x
      2
      1
      )
      =
      1
      x
      2
      1
      -
      1
      x
      2
      2
      =
      x
      2
      2
      -x
      2
      1
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      =
      (x2-x1)(x2+x1)
      x
      2
      1
      x
      2
      2
      ．
      因为0＜x      1＜x2，所以x2+x1＞0，x2-x1＞0，
      所以△y＞0，
      所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
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