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  • 已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．（1）求实数a，b的值；（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；（3）若g（x）=3-x-f（x），证明函数g（x）在（-∞，+∞）上有零点．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数f（x）=
      x+b
      x2+a
      的定义域为R，f（1）=
      1
      2
      ．
      （1）求实数a，b的值；
      （2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
      （3）若g（x）=3      -x-f（x），证明函数g（x）在（-∞，+∞）上有零点．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，得
      b
      a
      =0，∴b=0；
      又f（1）=
      1
      2
      ，∴
      1
      1+a
      =
      1
      2
      ，∴a=1．
      由上可知：a=1，b=0．
      （2）由（1）可知：f（x）=
      x
      x2+1
      ．
      设-1＜x      1＜x2＜1，则x2-x1＞0，
      于是△y=f（x      2）-f（x1）=
      x2
      x22+1
      -
      x1
      x
      2
      1
      +1
      =
      (x2-x1)(1-x1x2)
      (x
      2
      2
      +1)(x
      2
      1
      +1)
      ．
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，∴x1x2＜1，∴1-x1x2＞0．
      又x      2-x1＞0，x
      2
      1
      +1＞0，x
      2
      2
      +1＞0，
      ∴△y＞0，
      ∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
      （3）∵g(x)=3      -x-
      x
      x2+1
      ，∴g(-1)g(1)=(3+
      1
      2
      )×(
      1
      3
      -
      1
      2
      )＜0，
      ∴g（x）在（-1，1）上有零点，
      故函数g???x）在（-∞，+∞）上有零点．
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