已知函数f（x）=a?2x-b?3x，其中常数a，b满足ab≠0．（1）若ab＜0，判断函数f（x）的单调性；（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=a?2^x-b?3^x，其中常数a，b满足ab≠0．
（1）若ab＜0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）由ab＜0，得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
∵函数y=2^x和y=3^x是实数集上的增函数，
∴当a＞0，b＜0时，函数y=a?2^x为增函数，y=-b?3^x也为增函数，
则函数f（x）=a?2^x-b?3^x是实数集上的增函数；
当a＜0，b＞0时，函数y=a?2^x为减函数，y=-b?3^x也为减函数，
则函数f（x）=a?2^x-b?3^x是实数集上的减函数；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b），得：a＞0，b＞0，2a＞3b．
且lnab=ln（2a-3b）²，∴ab=（2a-3b）²，即4a²-13ab+9b²=0．
∴（a-b）（4a-9b）=0，解得：a=b，或4a=9b．
∵a＞0，b＞0，2a＞3b，∴a=b不符合，则4a=9b，∴a=

b．
由f（x+1）-f（x）＞0，得：a?2^x+1-b?3^x+1-a?2^x+b?3^x=a?2^x-2b?3^x＞0．
把a=

b代入上式得：

b?2^x-2b?3^x＞0，
又b＞0，∴

×2^x-2×3^x＞0，即(

)^x＞

，解得：x＞log_2
3

=2+log_2
32．
所以，f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围是(2+log_2
32，+∞)．

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已知函数f（x）=a?2x-b?3x，其中常数a，b满足ab≠0．（1）若ab＜0，判断函数f（x）的单调性；（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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