已知函数f（x）满足，其中a＞0，a≠1．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）若函数f（x）???定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）满足

，其中a＞0，a≠1．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）???定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

（1）令log_ax=t，则x=a^t所以f（t）=

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

（a^x-a^-x），
任取x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

[（ax₁-a-x₁）-（ax₂-a-x₂）]
=

[（ax₁-ax₂）-（a-x₂-a-x₁）]
=

[（ax₁-ax₂）（1+a-x₂-a-x₁）]
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）也为R上的增函数；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=

（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
因为函数f（x）的定义域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1 ①
-1＜1-m²＜1 ②
又f（x）是奇函数，所以f（1-m）+f（1-m²）＞0可变为f（1-m）＞f（m²-1）
又f（x）在（-1，1）内是减函数，所以1-m＜m²-1 ③
由①、②、③得

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）满足，其中a＞0，a≠1．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）若函数f（x）???定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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