设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．（1）写出f（x）=x3的一个闭区间；（2）若f（x）=x3-k为闭函数求k取值范围？试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）写出f（x）=x³的一个闭区间；
（2）若f（x）=

x³-k为闭函数求k取值范围？

见解析

（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以说明写出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=

x³-k
∴f′（x）=x²，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=

x³-k在定义域R上为增函数----（5分）
若f（x）=

x³-k为闭函数
则f（x）=

x³-k=x 有至少两个不同的解----（6分）
即k=

x³-x有至少两个不同的解
令g（x）=

x³-x
则g′（x）=x²-1
令g′（x）=0，则x=±1
∵g（-1）=

，g（1）=

即函数g（x）=

x³-x的极大值为

，极小值为-

故k∈[-

，

]------------（10分）

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