对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．①f（x）在D上为单调函数；②存在闭区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．（1）求闭函数y=-x3符合上述条件的区间[a，b]；（2）若f（x）=x3-3x2-9x+4，判断f（x）是否为闭函数．试题及答案-单选题-云返教育

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对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求闭函数y=-x³符合上述条件的区间[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判断f（x）是否为闭函数．

试题解答

见解析

（1）∵y=-x³，∴y′=-3x²≤0．
∴函数y=-x³为减函数．
故

即

∴

所求闭区间为[-1，1]．
（2）f′（x）=3x²-6x-9．
由f′（x）≥0，得x≥3或x≤-1．
由f′（x）≤0，得-1≤x≤3．
∴f（x）在定义域内不是单调函数．
故f（x）不是闭函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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