（理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．（1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；（2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；（3）当a＞0???，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

（理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．
（1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；
（2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）当a＞0???，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

见解析

（1）当a=1时，

，…（1分）
所以当x≥1时，由f（x）=x可得x²-x-1=x，即x²-2x-1=0，
所以解得

，
因为x≥1，
所以

．…（2分）
当x＜1时，由f（x）=x可得-x²+x-1=x，即x²=-1，无实数解．…（3分）
所以满足f（x）=x的x值为

．…（4分）
（2）由题意可得：

，…（5分）
因为a＞0，所以，当x≥a时，

，的单调递增区间是[a，+∞）；
当x＜a时，

，则根据二次函数的性质可得函数的单调递增区间是

．…（8分）
（注：两个区间写出一个得（2分），写出两个得（3分），区间不分开闭）
所以，f（x）的单调递增区间是

和[a，+∞）．…（9分）
（3）由x|x-a|-a＜0，
当x≥a时，则有x²-ax-a＜0，
因为f（a）=-a＜0，所以

．…（11分）
当x＜a时，-x²+ax-a＜0，即

，
当

，即0＜a＜4时，x∈（-∞，a）；…（13分）
当

，即a≥4时，

．…（14分）
综上可得，当0＜a＜4时，

，
当a≥4时，

．…（16分）

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