已知函数f（x）是（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的解析式及定义域；（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是

（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数

的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由．

见解析

（1）由y=

-1（x∈R），得10^x=

，x=lg

．
∴f（x）=lg

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．
由题设知点P′（-4-x，y）在函数

的图象上，
∴y=

，即g（x）=

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）设F（x）上不同的两点A???x₁，y₁），B（x₂y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
则y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=

．
由-1＜x1＜x2＜1 得

，
所以

，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．

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