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  • 已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设f(x)=g(x)x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为√2，求m的值；（Ⅱ）若m=1，方程f（2x）-k?2x=0在x∈[-1，1]上有实数解，求实数k的范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设f(x)=
      g(x)
      x
      ．
      （Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为
      √2
      ，求m的值；
      （Ⅱ）若m=1，方程f（2      x）-k?2x=0在x∈[-1，1]上有实数解，求实数k的范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）依题可设g（x）=a（x-1）2+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
      又g′（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2，a=1
      ∴g（x）=（x-1）      2+m+1=x2-2x+m，f(x)=
      g(x)
      x
      =x+
      m
      x
      -2，
      设P（x      0，y0），则|PQ|2=x02+（y0+2）2=x02+(x0+
      m
      x0
      )2
      =2      x
      2
      0
      +
      m2
      x
      2
      0
      +2m≥2
      √2m2
      +2m=2
      √2
      |m|+2m
      当且仅当2      x
      2
      0
      =
      m2
      x
      2
      0
      时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
      √2

      当m＞0时，
      √(2
      √2
      +2)m
      =
      √2
      解得m=
      √2
      -1m=
      √2
      -1
      当m＜0时，
      √(-2
      √2
      +2)m
      =
      √2
      解得m=-
      √2
      -1
      （Ⅱ）m=1，方程f（2      x）-k?2x=0化为2x+
      1
      2x
      -2=k?2x1+(
      1
      2x
      )2-2
      1
      2x
      =k，
      令
      1
      2x
      =t，k=t2-2t+1
      ∵x∈[-1，1]∴t∈[
      1
      2
      ，2]记?（t）=t2-2t+1
      ∴?（t）在t∈[
      1
      2
      ，1]上单调递减，在t∈[1，2]上单调递增，
      ∴?(
      1
      2
      )=(1-
      1
      2
      )2=
      1
      4

      ?（2）=（2-1）      2=1F（1）=（1-1）2=0
      根据题意 方程k=t      2-2t+1在t∈[
      1
      2
      ，2]内有实数解，∴0≤k≤1
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