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  • （1）用函数单调性定义证明f（x）=x+2x在x∈（0，√2）上是减函数；（2）求函数y=2(x2+x)x-1（2≤x＜4）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）用函数单调性定义证明f（x）=x+
      2
      x
      在x∈（0，
      √2
      ）上是减函数；
      （2）求函数y=
      2(x2+x)
      x-1
      （2≤x＜4）的值域．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：设x1，x2是（0，
      √2
      ）上的任意两个值，且x1＜x2，
      则x      2-x1＞0，所以f（x2）-f（x1）=x2+
      2
      x2
      -x1-
      2
      x1
      =（x2-x1）+
      2(x1-x2)
      x1x2
      =（x2-x1）?
      x1x2-2
      x1x2
      ，
      ∵0＜x      1＜
      √2
      ，0＜x2＜
      √2
      ，
      ∴0＜x      1x2＜2，x1x2-2＜0，
      又x      2-x1＞0，
      ∴f（x      2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜fx1），
      ∴f（x）=x+
      2
      x
      在x∈（0，
      √2
      ）上是减函数；
      （2）令t=x-1（1≤t＜3），则x=t+1，
      ∴y=
      2[(t+1)2+(t+1)]
      t
      =
      2(t2+3t+2)
      t
      =2（t+
      2
      t
      +3），
      由（1）知y=2（t+
      2
      t
      +3）在x∈（0，
      √2
      ）上单调???减，
      同理可证y=2（t+
      2
      t
      +3）在（
      √2
      ，+∞）上单调递增，
      ∴当t=
      √2
      即x=
      √2
      +1时，ymin=2（3+2
      √2
      ），当t=3即x=4时，y=
      40
      3
      ；当t=1即x=2时，y=12；
      ∴原函数的值域为[2（3+2
      √2
      ），
      40
      3
      ）．
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