已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(12)=25．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）当x∈（-1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

ax+b

x²+1

是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（-1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

见解析

解：（1）由题意可知f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

x²+1

ax+b

x²+1

∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f(

，∴a=1
∴f(x)=

x²+1

；
（2）当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：
∵f′(x)=

(1-x)(1+x)

(x²+1)²

，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增；
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，且f（x）为奇函数
∴f（2x-1）＜f（-x）
∵当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，
∴

{	-1＜2x-1＜1 -1＜-x＜1 2x-1＜-x

∴0＜x＜

∴不等式的解集为（0，

）．

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