已知函数f(x)=ax2-2√4+2b-b2x，g(x)=-√-x2+2ax+1-a2，a，b∈R．（1）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上是减函数，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x0使f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=ax²-2

√4+2b-b²

x，g(x)=-

√-x²+2ax+1-a²

，a，b∈R．
（1）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上是减函数，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x₀使f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

见解析

解：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，
①当a=0时，f（x）=-4x，为[2，+∞）上的减函数，满足题意；…（2分）
②当a≠0时，需满足

{

a＜0

≤2

，解得a＜0，
综上可得a≤0满足要求 …（6分）
（2）当a=0时，f(x)=-2

√4+2b-b²

x不存在最大值 …（7分）
∵f（x）存在最大值f（x₀），
∴a＜0且当x=x₀=

√4+2b-b²

时f（x）取得最大值 …（9分）
对于g(x)=-

√-(x-a)²+1

，当x=a时，g（x）取得最小值，…（11分）
∴

√4+2b-b²

=a，∴a²=

√4+2b-b²

√5-(b-1)²

…（13分）
∴0＜a²≤

√5

，∵a是负整数，∴a=-1从而b=-1或3，
∴满足题意的实数对为（-1，-1）和（-1，3）…（16分）

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